Über die Existenz von UMVUE und die Wahl der Schätzer von

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Sei eine Zufallsstichprobe aus der N ( θ , θ 2 ) -Population, wobei θ R ist .(X1,X2,,Xn)N(θ,θ2)θR

Ich suche den UMVUE von .θ

Die Fugendichte von beträgt(X1,X2,,Xn)

fθ(x1,x2,,xn)=i=1n1θ2πexp[12θ2(xiθ)2]=1(θ2π)nexp[12θ2i=1n(xiθ)2]=1(θ2π)nexp[1θi=1nxi12θ2i=1nxi2n2]=g(θ,T(x))h(x)(x1,,xn)Rn,θR

wobei undh(x)=1.g(θ,T(x))=1(θ2π)nexp[1θi=1nxi12θ2i=1nxi2n2]h(x)=1

Hier hängt von θ und von x 1 , , x n bis T ( x ) = ( n i = 1 x i , n i = 1 x 2 i ) ab und h ist unabhängig von θ . Nach dem Fisher-Neyman-Faktorisierungssatz ist die zweidimensionale Statistik T ( X ) = ( n i = 1)gθx1,,xnT(x)=(i=1nxi,i=1nxi2)hθ ist ausreichend fürθ.T(X)=(i=1nXi,i=1nXi2)θ

Allerdings ist keine vollständige Statistik. Dies liegt daran, dass E θ [ 2 ( n i = 1 X i ) 2 - ( n + 1 ) n i = 1 X 2 i ] = 2 n ( 1 + n ) θ 2 - ( n + 1 ) 2 n θ 2 = 0T

Eθ[2(i=1nXi)2(n+1)i=1nXi2]=2n(1+n)θ2(n+1)2nθ2=0θ

und die Funktion ist nicht identisch Null.g(T(X))=2(i=1nXi)2(n+1)i=1nXi2

Aber ich weiß, dass eine minimal ausreichende Statistik ist.T

Ich bin nicht sicher, aber ich denke, dass für diese gekrümmte Exponentialfamilie möglicherweise keine vollständige Statistik existiert. Wie soll ich dann den UMVUE bekommen? Wenn keine vollständige Statistik vorhanden ist, kann ein unverzerrter Schätzer (wie in diesem Fall ), der eine Funktion der minimal ausreichenden Statistik ist, der UMVUE sein? (Verwandter Thread: Was ist die notwendige Bedingung, damit ein unverzerrter Schätzer UMVUE ist? )X¯

Was ist, wenn ich den besten linearen unverzerrten Schätzer (BLAU) von ? Kann das BLAUE das UMVUE sein?θ

T(X)=aX¯+(1a)cSθc(n)=n12Γ(n12)Γ(n2)S2=1n1i=1n(XiX¯)2Eθ(cS)=θVar(T)TθTθ

X¯S(X¯,S2)θ

Bearbeiten:

θN(θ,aθ2)a>0

Die erste dieser Referenzen habe ich in dieser Übung aus Statistical Inference von Casella / Berger gefunden:

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Meine Frage bezieht sich jedoch nicht auf diese Übung.

θ

Unter der Annahme, dass es keinen einheitlichen unverzerrten Schätzer für die minimale Varianz gibt, was sollten unsere nächsten Kriterien für die Auswahl des 'besten' Schätzers sein? Suchen wir nach der minimalen MSE, der minimalen Varianz oder der MLE? Oder würde die Auswahl der Kriterien von unserem Schätzzweck abhängen?

T1T2θT1T2T2T1

θ

Der folgende Auszug stammt aus der Theorie der Punktschätzung von Lehmann / Casella (zweite Ausgabe, Seite 87-88):

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Es ist sehr wahrscheinlich, dass ich alles falsch verstanden habe, aber sagt der letzte Satz, dass unter bestimmten Bedingungen die Existenz einer vollständigen Statistik für die Existenz von UMVUE notwendig ist? Wenn ja, ist dies das Ergebnis, das ich mir ansehen sollte?

Das letzte Ergebnis von RR Bahadur, das am Ende erwähnt wird, bezieht sich auf diesen Hinweis.

Bei weiterer Suche habe ich ein Ergebnis gefunden, das besagt, dass keine vollständige Statistik existiert, wenn die minimal ausreichende Statistik nicht vollständig ist. Zumindest bin ich ziemlich davon überzeugt, dass es hier keine vollständige Statistik gibt.

X¯

HartnäckigAtom
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Antworten:

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Aktualisieren:

0^=X¯cS
c0a

{(w1(θ),wk(θ)}
Rkw1(θ)=θ2w2(θ)=θ1R2w1(θ)=w2(θ)2(X¯,S2)θ0θ

Ein weiteres Update:

θ~Var(θ~)<Var(θ^)θΘ

E(θ^)=θE(0^)=0Cov(θ^,0^)<0θ

θ~=θ^+b0^
Var(θ~)=Var(θ^)+b2Var(0^)+2bCov(θ^,0^)
M(θ)=2Cov(θ^,0^)Var(0^)

θ0M(θ0)>0b(0,M(θ0))Var(θ~)<Var(θ^) θ0θ^

θ^0^aθ^ θ0θ^


Schauen wir uns Ihre Vorstellung von linearen Kombinationen genauer an.

θ^=aX¯+(1a)cS

θ^

MSE(θ^)=a2Var(X¯)+(1a)2c2Var(S)=a2θ2n+(1a)2c2[E(S2)E(S)2]=a2θ2n+(1a)2c2[θ2θ2/c2]=θ2[a2n+(1a)2(c21)]

an

aopt(n)=c211/n+c21
c2=n12(Γ((n1)/2)Γ(n/2))2

aGeben Sie hier die Bildbeschreibung ein

naopt13

Es gibt zwar keine Garantie dafür, dass dies der UMVUE ist, aber dieser Schätzer ist der Schätzer für die minimale Varianz aller unverzerrten linearen Kombinationen der ausreichenden Statistiken.

knrumsey
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Danke für das Update. Ich bin C & B nicht als Lehrbuch gefolgt, sondern habe mir nur die Übungen angesehen.
Hartnäckig
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θ^