Warum ist es unmöglich, einen Beobachter für dieses nicht vollständig beobachtbare System zu erstellen?

Stellen Sie sich eine 1D-Punktmasse vor, die sich entlang einer Achse bewegt. Eine Kraft wird als Kontrolle angewendet. Es sind keine Schwerkraft oder andere Kräfte beteiligt. Das System kann in Zustandsraumgleichungen beschrieben werden als:$u$

$$\begin{align} A &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ B &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{1}{M} \end{bmatrix} \\ C &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ D &= [0] \end{align}$$

Das gezeigte System ist steuerbar, aber nicht beobachtbar. Nicht einmal strukturell beobachtbar und mit Sicherheit nicht vollständig beobachtbar. Daher sollte es unmöglich sein, einen Beobachter für dieses System zu konstruieren.

Wenn ich jedoch den Anfangszustand des Systems kenne, kann ich jederzeit den vollständigen Zustand berechnen, dh indem ich die Systemausgabe integriere. Wie passt dies zum Konzept der Beobachtbarkeit? Wie würde ich den Anfangszustand in die Gleichungen einbeziehen?

Ich kann den Fehler in meinem Gedankengang nicht finden, aber ich bin mir sicher, dass es einen gibt. Verstehe ich die Beobachtbarkeit falsch?

Beobachtbarkeit bedeutet, dass Sie den vollständigen Zustand nur anhand der Ausgabe schätzen können, ohne den Anfangszustand zu kennen. Mit anderen Worten, Sie müssen herausfinden, wo Sie sich befinden, ohne zu wissen, wo Sie sich ursprünglich befanden.

Ein praktischerer Grund, warum dies selten funktioniert, ist, dass wenn Sie durch nicht perfekte Sensoren und eine Abtastzeit ungleich Null begrenzt sind, das Integral der Beschleunigung zu wachsenden Fehlern bei Ihren Schätzungen von Positionen und Geschwindigkeit führt. Selbst wenn Sie den Ausgangszustand kennen, verlieren Sie mit der Zeit den Überblick.