DG lokale Gleichung, wie man die gemittelte Testfunktion interpretiert

In der Veröffentlichung http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0045782509003521 wird auf Seite 584 Gleichung (4) eine HDG-Element-lokale Gleichung beschrieben, wobei eine der Gleichungen die folgende Form annimmt

- (u_{h}, \nabla q)_{K} = - {⟨ {\hat{u}}_{h} \cdot n, q - \bar{q} ⟩}_{\partial K}

$-(u_h,\nabla q)_K = -\left\langle\hat{u}_h \cdot n, q - \bar{q}\right\rangle_{\partial K}$

Welches ist die Variationsnäherung an die stetige Gleichung $\nabla \cdot u = 0$ mit einer skalarwertigen Testfunktion $q$ in einem Raum, der Sinn macht.

Das Papier definiert

\bar{q} = \frac{1}{| \partial K |} \int_{\partial K} q

$\bar{q} = \frac{1}{|\partial K|} \int_{\partial K} q$ .

Wie wird dies im Finite-Elemente-Sinne interpretiert? Nach meinem Verständnis multiplizieren wir beide Seiten mit einer Testfunktion $q$ und versuchen dann, die Lösung zu finden, die die Gleichung für alle möglichen Entscheidungen von erfüllt $q$ . Wie ist es möglich, den Testraum auf diese Weise zu ändern?

Das Papier stellt auch fest, dass dies notwendig ist , um die Identität zu erzwingen

{⟨ {\hat{u}}_{h} \cdot n, q - \bar{q} ⟩}_{\partial K} = 0

$\left\langle\hat{u}_h\cdot n, q - \bar{q}\right\rangle_{\partial K} = 0$ ich mit dieser Aussage zustimmen, aber wie könnte eine Testfunktion

q - \bar{q}

$q - \bar{q}$ im Code implementiert werden? Sollte ich die Basisfunktionen für das Element nehmen und deren Mittelwert subtrahieren, wenn ich das lokale lineare System des Elements zusammensetze?

finite-element discontinuous-galerkin user3482876
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Haben Sie versucht, die Autoren des Papiers selbst zu kontaktieren?

Paul

Antworten:

Ich nehme an, dass die Raumfunktion, in der gesucht wird, einen Nullmittelwert hat, dh die neuen Testfunktionen wurden wie folgt definiert: Dies ist in Systemen üblich, in denen eine Kompatibilitätsbedingung erfüllt sein muss. $q$ $q^*$

\int_{Ω} q^{*} d x = \int_{Ω} (q - \bar{q}) d x = 0

$\int_{\Omega}{q^*\,dx} = \int_{\Omega}{(q-\overline{q})\,dx} = 0$

HBR
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Wie würde man praktisch vorgehen, um einen solchen "Null-Mittelwert" -Raum zu implementieren? Haben Sie eine Referenz?

user3482876

Die Testfunktion, über die die PDE projiziert wird, ist definiert als jede Testfunktion (abhängig von den Koordinaten, wie Sie es verstehen) abzüglich ihres Mittelwerts (einfach eine Konstante). Daher beseitigt der Gradient einer solchen Testfunktion diese Konstante, die von der Testfunktion subtrahiert wird. Diese Konstante wird global festgelegt. Und Sie können es von Anfang an berechnen. Wenn Ihre Basisfunktionen an jedem Punkt zu eins addieren (sie sind interpolant), stimmt diese Konstante mit der Fläche Ihrer Domäne in 2D überein.

HBR

Ich habe gelesen, dass es sich tatsächlich um diskretes Galerkin handelt, daher ist diese Konstante gleich der Elementfläche (wenn die Basis zu einer addiert wird)

HBR