Die Fehlerschätzungen in FEM haben normalerweise die Form
Wenn wir den Logarithmus auf beiden Seiten nehmen, erhalten wir
Diese Schätzung impliziert, dass der Fehler unter der geraden Linie liegt, die durch in der log-log-Skala gegeben ist. Diese Schätzung besagt nicht, dass die Fehlerkurve in Bezug auf eine gerade Linie sein sollte, sondern nur, dass sie unter einer geraden Linie liegen sollte.
Warum zeigen dann die meisten Fehlerdiagramme, die in Zeitschriften veröffentlicht werden, eine sehr scharfe gerade Linie für den Fehler? Ich wäre dankbar für einen Einblick in diese Frage, da ich ein Anfänger im wissenschaftlichen Rechnen bin.
Insbesondere zeigten einige Berechnungen, die ich mit FEniCS durchgeführt habe, Fehlerdiagramme, die keine geraden Linien sind. Der Graph liegt jedoch unter einer geraden Linie. Beeinflusst ein bestimmter linearer Löser ein solches Verhalten? Ich benutze Mumps linearen Löser.
Bearbeiten: In der Abbildung unten zeigen theoretische Ergebnisse, dass der Fehler (auf der y-Achse aufgetragen) als abfallen sollte, wobei auf der x-Achse aufgetragen ist. Die zweite Zahl befindet sich in der Log-Log-Skala.
quelle
Antworten:
Obwohl ich Ihren speziellen Fall nicht kommentieren kann, da Sie nicht genügend Details angegeben haben, kann ich einige Hinweise zu diesem Thema geben, da ich mehrere Jahre meines Lebens damit verbracht habe, diese Konvergenzdiagramme so schön wie möglich aussehen zu lassen. Ich habe nur mit elliptischen und Sattelpunktproblemen gearbeitet und die Anleitung gilt wahrscheinlich überhaupt nicht für parabolische und hyperbolische Probleme.
Eines sollte bereits aus den Kommentaren ersichtlich sein: Es gibt keinen Grund dafür, dass die Diagramme immer wie gerade Linien aussehen, wenn Sie eine Obergrenze für den Fehler haben.
Eine andere zu realisierende Sache ist, dass solche Fehlerschätzungen normalerweise durch einige allgemeine Probleme erfüllt werden, bei denen die Grenz- und Ladedaten als Element eines Sobolev-Raums angegeben werden. Daher gibt es in der Realität viele Probleme mit unterschiedlichen Belastungen, Randbedingungen usw., die dieselbe Schätzung erfüllen - typischerweise mit einer unterschiedlichen Konstante. Bei einer numerischen Lösung für eine Folge von Maschen bleiben nur einige der Probleme nahe genug an der asymptotischen Grenze - wie durch die Schätzung definiert -, damit die Diagramme linear aussehen .
Es ist eher eine Kunst als eine Wissenschaft, den preasymptotischen Bereich künstlich so klein wie möglich zu machen und Probleme zu finden, die hauptsächlich nahe der asymptotischen Grenze bleiben. Hier sind einige Tipps:
Im Allgemeinen denke ich, dass die Fehlerschätzungen nützlicher sind, wenn Sie überprüfen, ob Ihr neu implementierter Finite-Elemente-Code ordnungsgemäß funktioniert, und nicht so nützlich für angewandte Probleme, bei denen die Daten und die Randbedingungen nicht unbedingt gut genug sind, um lineare Konvergenzdiagramme zu erhalten.
Wenn Sie mehr Details zu dem vorliegenden Problem angeben, könnte ich Ihnen möglicherweise spezifischere Tipps geben. Ich denke jedoch, dass diese Tipps Ihnen helfen werden, das Problem zu finden.
quelle