Welche räumlichen Diskretisierungen funktionieren für inkompressible Strömungen mit anisotropen Grenznetzen?

Flüsse mit hoher Reynoldszahl erzeugen sehr dünne Grenzschichten. Wenn in der Large Eddy-Simulation eine Wandauflösung verwendet wird, kann das Seitenverhältnis in der Größenordnung von $10^6$ . Viele Methoden werden in diesem Regime instabil, weil sich die inf-sup-Konstante als Quadratwurzel des Seitenverhältnisses oder schlechter verschlechtert. Die inf-sup-Konstante ist wichtig, da sie die Bedingungszahl des linearen Systems und die Approximationseigenschaften der diskreten Lösung beeinflusst. Insbesondere beschränkt das Folgende a priori die diskrete Fehlerhaftigkeit (Brezzi und Fortin 1991).

$$\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q\in \mathcal Q} \lVert{p-q}\rVert_{L^2} \right] \end{split}$$

Dabei ist $\mu$ ; die dynamische Viskosität und $\beta$ ; die inf-sup-Konstante. Daraus ergibt sich, dass die Annäherung von Geschwindigkeit und (insbesondere) Druck als $\beta \to 0$ schlechter wird als die beste im Finite-Elemente-Raum verfügbare (dh die Konstante der Galerkin-Optimalität wächst als $\beta^{-1}$ und $\beta^{-2}$ .

Welche Methoden haben unabhängig vom Seitenverhältnis eine gleichmäßige Inf-sup-Stabilität?

Welche davon können mit unstrukturierten Maschen verwendet werden?

Wie verallgemeinern sich die Schätzungen auf Näherungen höherer Ordnung?

MAC-Finite-Differenzen-Schemata (Harlow und Welch 1965) sind einheitlich stabil, erfordern jedoch glatt strukturierte Gitter und sind nur genau zweiter Ordnung.

Finite-Elemente-Methoden werden für Methoden unstrukturierter und höherer Ordnung bevorzugt. Für kontinuierliche Galerkin-Finite-Elemente-Verfahren sind keine Räume bekannt, die optimale Approximationseigenschaften aufweisen und gleichmäßig stabil sind.

• $Q_k-P_{k-1}^{\mathrm{disc}}$ hat optimale Approximationseigenschaften und ist lokal konservativ, aber die inf-sup-Konstante verschlechtert sich als Quadratwurzel des Seitenverhältnisses. Siehe Bernardi & Maday 1999 für Details.

• $Q_k-Q_{k-2}^{\mathrm{disc}}$ hat eine vom Seitenverhältnis unabhängige Inf-sup-Konstante und ist lokal konservativ, aber die Inf-sup-Konstante skaliert wie wenn die Polynomordnung bei formregulären Netzen erhöht wird (Maday et al. 1992). Bei Netzen mit hängenden Knoten oder wiedereintretenden Ecken ist diese Grenze in 2D scharf (Schoetzau et al. 1998), in 3D verschlechtert sie sich jedoch weiter auf (Toselli & Schwab 2003).$\mathcal{O}\left(k^{\frac{1-d}{2}}\right)$$k^{-3/2}$

• Das gedrehte nichtkonforme Element von Rannacher & Turek 1994 ist einheitlich stabil, hat optimale Approximationseigenschaften und ist lokal konservativ, erfüllt jedoch nicht die diskrete Korn-Ungleichung, sodass es für einige Randbedingungen Randkorrekturen benötigt und nicht verwendet werden kann variable Viskositätsflüsse. Spätere Arbeiten der Autoren haben versucht, diese Methoden unter Verwendung von Kantenflüssen zu stabilisieren, aber die daraus resultierenden Diskretisierungen verlieren viele der attraktiven Effizienzmerkmale.$Q_1-P_0$

• Ainsworth und Coggins 2000 konstruieren hochtechnische Räume, die etwas besser funktionieren, aber nur begrenzt von Nutzen zu sein scheinen.

Bei diskontinuierlichem Galerkin sieht das Bild etwas besser aus:

• Der diskontinuierliche Raum ist gleichmäßig stabil und hat optimale Approximationseigenschaften (Schoetzau, Schwab und Toselli 2004). Diese Kombination ist für Räume mit kontinuierlicher Geschwindigkeit nicht verfügbar. Die inf-sup-Konstante ist immer noch vom Polynomgrad abhängig, skaliert jedoch als .$Q_k-Q_{k-1}$$k^{-3/2}$