Oszillationen in singulär gestörten Reaktionsdiffusionsproblemen mit finiten Elementen

Bei der FEM-Diskretisierung und Lösung eines Reaktionsdiffusionsproblems, zB mit (singuläre Störung) zeigt die Lösung des diskreten Problems typischerweise Oszillationsschichten nahe der Grenze. Mit , und linearen finiten Elementen sieht die Lösung aus

- ε Δ u + u = 1 auf Ω u = 0 auf \partial Ω

$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$

0 < ε ≪ 1

$0 < \varepsilon \ll 1$

Ω = (0, 1)

$\Omega = (0,1)$

ε = 10^{- 5}

$\varepsilon=10^{-5}$

u_{h}

$u_h$

Lösung eines einzigartig gestörten Problems

Ich sehe, dass es eine Menge Literatur für solche unerwünschten Effekte gibt, wenn sie durch Konvektion verursacht werden (z. B. Diskretisierungen im Aufwind), aber wenn es um Reaktionen geht, scheinen sich die Leute auf raffinierte Maschen zu konzentrieren (Shishkin, Bakhvalov).

Gibt es Diskretisierungen, die solche Schwingungen vermeiden, also die Monotonie bewahren? Was kann in diesem Zusammenhang noch nützlich sein?

finite-element discretization numerical-analysis singular-perturbation Nico Schlömer
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Bewahrt das zentrale Differenzschema nicht die Monotonie, weil es zu einer M-Matrix führt ?

Hui Zhang

@HuiZhang leider nicht. Für finite Elemente, wobei die Reaktions tragen

, die positiven off-diagonalen Einträge erzeugt.

⟨ 1 ϕ_{i}, ϕ_{j} ⟩ > 0

$\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

Nico Schlömer

@HuiZhang Bei endlichen Differenzen (und endlichen Volumina auch) haben Sie natürlich Recht. Ich werde die Antwort anpassen, um klarer zu sagen, dass ich an finiten Elementen interessiert bin.

Nico Schlömer

Diskontinuierliche Galerkin-Methoden sind für solche Probleme recht populär geworden - haben Sie sich das Buch von Di Pietro und Ern angesehen?

Christian Clason

Antworten:

In dem von Ihnen gezeigten Fall hat die Lösung eine Grenzschicht. Wenn Sie es nicht lösen können, weil Ihr Netz zu grob ist, dann ist die Lösung für alle praktischen Fragen diskontinuierlich zum numerischen Schema.

Wenn Sie nur eine Standarddiskretisierung auf dieses Problem anwenden, ist die diskrete Lösung das Ergebnis der Anwendung eines linearen Projektionsoperators auf die exakte Lösung, die auf einen endlichen dimensionalen Raum projiziert. Dies ist wirklich nicht anders als beispielsweise die ersten Terme einer Fourier-Reihe. Aber da weißt du, was passieren wird, wenn du es auf eine diskontinuierliche Funktion anwendest: du bekommst das Gibbs-Phänomen mit Über- und Unterlauf. Die Situation hier ist wirklich nicht anders und es wird mit jedem linearen Schema passieren. $N$

$\varepsilon$ $h\rightarrow 0$

Wolfgang Bangerth
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TL; DR: Ihre Möglichkeiten sind begrenzt. 1) Gehen Sie für eine genaue und teure Lösung auf Brute Force Adaptive. 2) Verwenden Sie die numerische Diffusion für eine weniger genaue, aber stabile Lösung. 3) Nutzen Sie die Tatsache, dass dies ein singuläres Störungsproblem ist zwei preiswerte innere / äußere Probleme und lassen Sie zusammenpassende Asymptoten seine Magie tun!

$\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$

$x = \mathcal{O}(\delta)$ $\eta = x/\delta$

- Δ u_{ich} + u_{ich} = 1

$-\Delta u_i + u_i = 1$

$u(0) = 0$ $u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$ $u_o$ $x = \mathcal{O}(1)$ $u$ $1$ $u_0 = 1$ innere lösung leicht gemacht - in diesem fall sogar analytisch.

Dies ist in der Tat die Technik, die zur Lösung laminarer Grenzschichtprobleme in der Strömungsmechanik früher sehr populär war (und immer noch ist). Wenn Sie sich die Navier-Stokes-Gleichungen ansehen, sehen Sie sich bei hohen Reynolds-Zahlen tatsächlich einem singulären Störungsproblem gegenüber, das wie das hier erwähnte eine Grenzschicht entwickelt (unterhaltsame Tatsache: die Begriffe "Grenzschicht" in Störung Die Analyse ergibt sich tatsächlich aus dem soeben beschriebenen Problem der Flüssigkeitsgrenzschicht.

$u_0 = 1$

GradGuy
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