Die FEM-Methode für vorübergehende Probleme verwendet typischerweise die Methode der Linien, dh die räumliche Diskretisierung ist von der Zeitdiskretisierung entkoppelt:
wobei der Vektor der Knotengrößen ist, der als unbekannte Funktionen der Zeit angenommen wird. Unter dieser Annahme werden die Raum-Zeit-PDEs in Verwendung der üblichen FEM-Maschinerie für statische Probleme auf ODEs in allein reduziert (diskretisiert) .
uh( x , t ) = Φ ( x )T.U (t)
U (t)( x , t )t
Wie bereits in anderen Antworten erwähnt, sprechen wir von expliziter oder impliziter FEM in Bezug auf das Zeitintegrationsschema dieser ODEs.
In Bezug auf Probleme der Kontinuumsmechanik (ohne Dämpfung) erhalten wir ein System von ODEs wie
wobei und sind die internen und externen Knotenäquivalentkräfte. Für lineare Probleme .
M U.¨( t ) + F.ich( U ( t ) ) = F.e( t )
F.ichFeFi(t)=KU(t)
Unter der Gefahr einer zu starken Vereinfachung nehmen wir an, dass Sie in einem expliziten Schema nur nach lösen müssen
welches trivial, wenn die Massenmatrix zusammengefasst ist. Im Gegenteil, bei impliziten Methoden müssen Sie die (nicht) linearen Gleichungen lösen .M ¨ U (t)=-Fi(U(t))+Fe(t)Fi(U(t))=bU¨(t)
MU¨(t)=−Fi(U(t))+Fe(t)
Fi(U(t))=b
Um Ihre Frage vollständig zu beantworten: Explizit / Implizit bezieht sich auf die Lösung des ODE-Systems und nicht auf die Art der Massenmatrix. Natürlich erfordert jede vernünftige Implementierung eines expliziten Schemas, dass die Massenmatrix zusammengefasst wird, da sonst die Vorteile der Methode in der Lösung für . Im Gegenteil, für implizite Schemata können Sie sowohl konzentrierte als auch konsistente Massenmatrizen haben.U¨(t)
Die Begriffe "explizit" und "implizit" entstehen in der Zeitdiskretisierung, und diese Begriffe werden bereits in der Literatur zu gewöhnlichen Differentialgleichungen verwendet (dh sie sind nicht spezifisch für die Finite-Elemente-Methode). Es lohnt sich, einen Blick in ein Buch zu werfen, in dem die numerische Lösung von ODEs diskutiert wird, z. B. Hairer & Wanner.
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