Die Berechnung der Eigenmoden einer halbkreisförmigen Membran reduziert sich auf das folgende Eigenwertproblem
wobei der interessierende Bereich ein Halbkreis ist, der durch und φ ∈ [ 0 , π ] definiert ist .
Es ist angebracht, in Zylinderkoordinaten zu arbeiten, in denen der Laplace geschrieben ist als
Randbedingungen legen den Wert von an der Grenze des Halbkreises fest, wobei u = 0 ist .
Zuerst machen wir eine Diskretisierung von mit u i j = u ( r i , φ j ) , wobei r i = ( i + 1)undφj=(j+1i,j=0...N-1undhr=1/N,hr=π/N. Dies ist einzentriertesNetz.
Wir verwenden dann eine Finite-Differenzen-Näherung für den Laplace-Wert und erhalten
oder
Da unser Netz zentriert ist, müssen wir in der obigen Gleichung den folgenden Ersatz vornehmen: . Diese Ersetzung hilft uns auch, die Koordinatensingularität füri=0 zu beseitigen.
Randbedingungen bei und r = 0 , 1 können alle mit demselben Trick behandelt werden , wobei wir an der Grenze setzen
u i , j + 1 = - u i , j u i - 1 , j = - u i , j u i + 1 , j = - u i , j .
Aus wir dann einen Vektor → v und erhalten ein klassisches Eigenwertproblem für eine Matrix A , die sorgfältig aus den obigen Gleichungen A → v = k 2 h 2 r → v gebildet wird
Die Matrix ist eine unsymmetrische reelle Matrix und Eigenwerte und Eigenvektoren können mit einer Routine dgeev
von LAPACK erhalten werden.
Analytische Lösungen können leicht durch das Verfahren der Trennung von Variablen erhalten werden
Sie sind
Wobei J n ist eine (zylindrische) BesselFunktion erster Art der Ordnung n und ξ ( m ) n
Eigenwerte und Frequenzen sind
Hier ist die Darstellung der analytischen Lösung für die erste Eigenfunktion:
Das folgende Diagramm zeigt den Vergleich der numerischen Ergebnisse für drei verschiedene Diskretisierungen, soweit meine Rechenressourcen dies zulassen.
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Antworten:
Um zumindest eine Antwort zu erhalten, scheint die obige Analyse korrekt zu sein. Randbedingungen erster Ordnung beeinflussen die Genauigkeit einer Diskretisierung zweiter Ordnung (wenn ich mich richtig an LeVeques Buch über Näherungen endlicher Differenzen erinnere; DavidKetcheson kann mir dabei helfen), so dass die Lösungen des diskreten Problems konvergieren die Lösung des analytischen Problems mit der entsprechenden Geschwindigkeit.
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Nachdem sie den größten Teil der Analyse überflogen und sich die hübschen Bilder angesehen haben, erzählen sie eine überzeugende Geschichte: Die analytische Lösung weist keine Zirkularität auf, Ihre numerische Lösung jedoch; Der zentrale Bereich ist gekrümmt.
Ich würde mich also ganz auf Ihr Finite-Differenzen-Schema konzentrieren. Ich kann noch nicht sehen, was los ist, aber vielleicht ist ein Teil der Winkelabhängigkeit der Koordinaten nicht vollständig beseitigt.
Ich bezweifle, dass es die Randbedingung ist; Beide Lösungen scheinen an allen Grenzen Null zu haben. Es könnte jedoch denkbar sein, dass die Art der Bedingung eher eine Ableitung als eine Wertbedingung ist.
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Ich verstehe die Randbedingungen nicht.
Könnten Sie bitte mehr Details geben?
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