Ableitung eines Gaußschen Prozesses

Ich glaube, dass die Ableitung eines Gaußschen Prozesses (GP) eine andere GP ist, und daher würde ich gerne wissen, ob es geschlossene Formgleichungen für die Vorhersagegleichungen der Ableitung eines GP gibt. Insbesondere verwende ich den quadratisch exponentiellen (auch als Gauß'schen) Kovarianzkern und möchte wissen, wie Vorhersagen über die Ableitung des Gauß'schen Prozesses getroffen werden können.

Was meinst du mit der Ableitung des GP? Generieren Sie zufällig eine Kurve aus dem BP,

, und nehmen Sie dann die Ableitung?

x (t)

$x(t)$

Placidia

@Placidia, nein, ich meine die Berechnung von

, die meiner Meinungsollte ein anderer Gaußschen Prozess sein

\frac{\partial x (t)}{\partial t}

$\frac{\partial x(t)}{\partial t}$

Gute Frage. Ich scheine mich jedoch zu erinnern, dass Brown'sche Bewegung sowohl ein Allgemeinmediziner als auch nirgends differenzierbar ist. Ich bin mir also nicht sicher, ob es einen generischen Ausdruck geben könnte. Natürlich sollte x (t) -x (th) ein Gaußscher Wert sein, so dass es angesichts der Kovarianzfunktion möglich sein sollte, Wahrscheinlichkeiten darüber für ein gegebenes h zu überlegen.

Vermutungen

@conjectures, aus diesem Grund habe ich ausdrücklich gesagt, dass ich einen GP habe, bei dem die Kernelfunktion die quadratische Exponentialfunktion ist (da ich weiß, dass diese unendlich differenzierbar ist) und in meinem Beispiel wirklich nur nach dem abgeleiteten Fall gesucht habe. Aber trotzdem ein guter Punkt!

Antworten:

Die kurze Antwort: Ja, wenn Ihr Gauß-Prozess (GP) differenzierbar ist, ist seine Ableitung wieder ein GP. Es kann wie jeder andere Allgemeinmediziner gehandhabt werden und Sie können prädiktive Verteilungen berechnen.

Aber da ein GP und seine Ableitung $G$ $G'$ eng miteinander verwandt sind, können Sie Eigenschaften von beiden voneinander ableiten.

Existenz von $G'$

Ein Null-Mittelwert GP mit Kovarianzfunktion differenzierbar ist (in mean square) , wenn $K$ existiert. In diesem Fall ist die Kovarianzfunktion vongleich. Wenn der Prozess nicht Null-Mittelwert ist, muss auch die Mittelwertfunktion differenzierbar sein. In diesem Falldie Mittelwertfunktion vonist die Ableitung der Mittelwertfunktion von. $K'(x_1, x_2)=\frac{\partial^2 K}{\partial x_1 \partial x_2}(x_1,x_2)$ $G'$ $K'$ $G'$ $G$

(Weitere Details finden Sie in Anhang 10A von A. Papoulis "Wahrscheinlichkeit, Zufallsvariablen und stochastische Prozesse".)

Da der Gaußsche Exponentialkern in jeder Größenordnung differenzierbar ist, ist dies für Sie kein Problem.

Prädiktive Verteilung für $G'$

Dies ist unkompliziert, wenn Sie nur von Beobachtungen von abhängig machen möchten. $G'$ : Wenn Sie die Ihnen bekannten Ableitungen und Kovarianzfunktionen berechnen können, können Sie daraus auf die gleiche Weise schließen wie mit jedem anderen GP.

Sie können aber auch eine Vorhersageverteilung für basierend auf Beobachtungen von ableiten . Sie tun dies, indem Sie den hinteren Teil von berechnen $G'$ $G$ $G$ Ihrer Beobachtungen auf die übliche Weise und dann 1. auf die Kovarianz und die mittlere Funktion des posterioren Prozesses anwenden.

Dies funktioniert auf die gleiche Weise umgekehrt, dh Sie bedingen, dass Beobachtungen von einen Posterior von . In diesem Fall wird die Kovarianzfunktion von durch Integrale von und ist möglicherweise schwer zu berechnen, aber die Logik ist wirklich dieselbe. $G'$ $G$ $G$ $K'$

gg
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Ich verstehe deine Frage nicht. Es gibt eine explizite Formel für die Kovarianzfunktion und die Mittelwertfunktion, die oben angegeben sind (und in 9.4 von Rasmussen / Williams). Da dies alles ist, was es zu wissen und zu benutzen gibt, was könnte man sich sonst noch wünschen?

G^{'}

$G'$

Ist es möglich, dass Sie die mittlere Funktion und die Pfade des Prozesses verwechseln? Beachten Sie, dass die mittlere Funktion glatter ist als die Pfade und möglicherweise differenzierbar ist, obwohl dies nicht der Fall ist. Die mittlere Funktion ist jedoch eine deterministische Funktion, kein Prozess, sodass keine Varianz berechnet werden kann.

Es ist. Siehe Rasmussen und Williams, Abschnitt 9.4 . Einige Autoren sprechen sich auch stark gegen den quadratischen exponentiellen Kern aus - er ist zu glatt.

Yair Daon
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Gibt es also eine prädiktive Verteilung für das Derivat?