Model Predictive Control und numerische Integrationsschemata

Bei der Simulation von ODE-Systemen bin ich es gewohnt, immer ein numerisches Integrationsschema zu verwenden, um die Gleichungen zeitlich vorwärts zu verbreiten, wie beispielsweise einfache Euler-Integration oder Runge-Kutta-Methoden. Mit Model Predictive Control (MPC) gibt jedes Lehrbuch, das ich sehe, die folgende Form für die zeitliche Fortpflanzung eines linearen Systems an:

x (t + 1) = A x (t) + B u (t)

$x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)$

Wenn wir jedoch anhand beliebiger Eingaben sehen, wie sich dieses System im Laufe der Zeit entwickelt , sind die Ergebnisse äußerst ungenau. Ich hätte gedacht, dass MPC irgendeine Form von Integrationsschema enthalten würde, während die Steuerungsoptimierung durchgeführt wird. Wenn wir zum Beispiel die Euler-Integration in Betracht ziehen, hätten wir $u(t)$

\dot{x} (t) = A x (t) + B u (t)

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

und dann würde unsere Dynamik, die als lineare Gleichheitsbeschränkungen in einem MPC-Algorithmus verwendet wird, gegeben sein durch

\frac{x (t + 1) - x (t)}{Δ t} = A x (t) + B u (t)

$\frac{x(t+1)-x(t)}{\Delta t}=Ax(t)+Bu(t)$

x (t + 1) = x (t) + Δ t [A x (t) + B u (t)]

$x(t+1)= x(t) + \Delta t[Ax(t)+Bu(t)]$

$x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)$

control-engineering control-theory optimal-control InquisitiveInquirer
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Antworten:

x_{k + 1} = A x_{k} + B u_{k}

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k$

\dot{x} = A x + B u

$\dot x = Ax + Bu$

\frac{x (t_{k + 1}) - x (t_{k})}{Δ t} = A x (t_{k}) + B u (t_{k}),

$\frac{x(t_{k+1})-x(t_k)}{\Delta t} = Ax(t_k) + Bu(t_k),$

x (t_{k + 1})

$x(t_{k+1})$

x (t_{k + 1}) = (I + A Δ t) x (t_{k}) + B Δ t u (t_{k})

$x(t_{k+1}) = (I+A \Delta t)x(t_k) + B\Delta tu(t_k)$

I

$I$

OpticalResonator
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Erwähnenswert ist auch, dass es viel bessere Diskretisierungsmethoden gibt. Zum Beispiel nullter Ordnung halten .

Fibonatic

A

$A$

B

$B$

A = (I + A Δ t)

$A = (I+A\Delta t)$

B = B Δ t

$B = B\Delta t$

Man könnte es so beschreiben, obwohl der Zweck des "numerischen Integrationsschemas" hier eigentlich die Diskretisierung ist (und es ist nicht sehr gut, wie @fibonatic bereits betont hat), den Systemzustand nicht zu entwickeln. Vielleicht hilft es auch, ein wenig über den Unterschied zwischen zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Systemen zu lesen. Hier ist es entscheidend, dies zu verstehen.

OpticalResonator