-Konvergenz der Finite-Elemente-Methode, wenn die rechte Seite nur in

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Ich weiß , daß die abschnittsweise lineare Finite - Elemente - Näherung uh von

Δu(x)=f(x)in Uu(x)=0on U
uuhH01(U)ChfL2(U)
UfL2(U)

Frage: Wenn , haben wir die folgende analoge Schätzung, bei der eine Ableitung auf beiden Seiten weggenommen wird: fH1(U)L2(U)

uuhL2(U)ChfH1(U)?

Können Sie Referenzen angeben?

Gedanken: Da wir immer noch , sollte es möglich sein, Konvergenz in . Intuitiv sollte dies sogar mit stückweise konstanten Funktionen möglich sein.uH01(U)L2(U)

Bananach
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Ich denke, dass Sie uuh0Chuuh1 aus dem Standard-Nitsche-Trick auch für uH1 . Sie finden dies zB in Braess - Finite Elemente.
Knl

Antworten:

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Ja , dies ist der Standardtrick von Aubin-Nitsche (oder Dualität ). Die Idee ist, die Tatsache zu verwenden, dass sein eigener dualer Raum ist, um die -Norm als Operatornorm zu schreiben Wir müssen also für beliebiges schätzen . Dazu "heben" wir zu indem wir zuerst für beliebiges die Lösung des dualen Problems L2L2(U-uh,φ)φL2u-uhH 1 0 φL2wφH 1 0 ( w φ , v ) = ( φ , V ) ,

uL2=supϕL2{0}(u,ϕ)ϕL2.
(uuh,ϕ)ϕL2uuhH01ϕL2wϕH01Wφ H 2Cφ L 2 .
(1)(wϕ,v)=(ϕ,v)for all vH01.
Unter Verwendung der Standardregelmäßigkeit der Poisson-Gleichung wissen wir, dass
wϕH2CϕL2.

Das Einfügen von in und die Verwendung der Galerkin-Orthogonalität für jede Finite-Elemente-Funktion (in Ihrem Fall stückweise linear) ergibt die Schätzung Da dies für alle , ist die Ungleichung immer noch wahr, wenn wir das Infimum über alle stückweise linearen . Wir erhalten daher (1) w h ( ϕ , u - u h )v=uuhH01(1)whwHwhu - u h L 2 = sup φ L 2{ 0 } ( u - u h , φ )

(ϕ,uuh)=(wϕ,(uuh))=(wϕwh,(uuh))CuuhH1wϕwhH1.
whwh
(2)uuhL2=supϕL2{0}(uuh,ϕ)ϕL2CuuhH1supϕL2{0}infwhwϕwhH1ϕL2.
Dies ist das Aubin-Nitsche-Lemma .

Der nächste Schritt besteht nun darin, Standardfehlerschätzungen für die beste Finite-Elemente-Näherung von Lösungen für die Poisson-Gleichung zu verwenden. Da nur in , erhalten wir keine bessere Schätzung als Glücklicherweise können wir die Tatsache nutzen, dass eine höhere Regelmäßigkeit aufweist als die rechte Seite anstelle von . In diesem Fall haben wir Einfügen von und inH 1 uH1wϕϕL2H-1 inf w hw ϕ - w h H 1

(3)uuhH1infvhuvhH1cuH1CfH1.
wϕϕL2H1 (3)(4)(2)
(4)infwhwϕwhH1chwϕH2ChϕL2
(3)(4)(2) liefert nun die gewünschte Schätzung.

(Beachten Sie, dass die Standardschätzungen erfordern, dass der Polynomgrad der Finite-Elemente-Näherung und der Sobolev-Exponent der wahren Lösung erfüllen , sodass dieses Argument für die stückweise konstante ( ) Näherung nicht funktioniert . Wir haben auch das - dh, wir haben eine konforme Näherung - was für stückweise Konstanten nicht gilt.)m m < k + 1 k = 0 u - u hH 1 0kmm<k+1k=0uuhH01

Da Sie nach einer Referenz gefragt haben: Eine Aussage (auch für negative Sobolev-Räume anstelle von ) finden Sie in Satz 5.8.3 (zusammen mit Satz 5.4.8) inHsL2

Susanne C. Brenner und L. Ridgway Scott , MR 2373954 Die mathematische Theorie der Finite-Elemente-Methoden , Texte in der angewandten Mathematik ISBN: 978-0-387-75933-3.

Christian Clason
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Und ich kann unsere glänzende neue Zitierfunktion nutzen :)
Christian Clason
Vielen Dank für Ihre Antwort, aber kontinuierliche Funktionen sind nicht in eingebettet, ? H01
Bananach
Ja, tut mir leid, ich bin dort weggestrichen - sie sind dicht, aber nicht eingebettet. Das Dualitätsargument funktioniert jedoch genauso (arbeiten Sie einfach direkt mit und ). Ich werde meine Antwort entsprechend bearbeiten. H - 1H01H1
Christian Clason
Danke für das umfangreiche Update. Und um ein weiteres glänzendes Zitat zu finden
Bananach
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@Praveen Ich glaube, du brauchst hier keine Theorie. Wählen einfach als Konstante Null. vh
Bananach