-Konvergenz der Finite-Elemente-Methode, wenn die rechte Seite nur in

Ich weiß , daß die abschnittsweise lineare Finite - Elemente - Näherung $u_h$ von

$$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$$ $$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$$ $U$$f\in L^2(U)$

Frage: Wenn , haben wir die folgende analoge Schätzung, bei der eine Ableitung auf beiden Seiten weggenommen wird: $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$

$$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$$

Können Sie Referenzen angeben?

Gedanken: Da wir immer noch , sollte es möglich sein, Konvergenz in . Intuitiv sollte dies sogar mit stückweise konstanten Funktionen möglich sein.$u\in H^1_0(U)$$L^2(U)$

Ja , dies ist der Standardtrick von Aubin-Nitsche (oder Dualität ). Die Idee ist, die Tatsache zu verwenden, dass sein eigener dualer Raum ist, um die -Norm als Operatornorm zu schreiben Wir müssen also für beliebiges schätzen . Dazu "heben" wir zu indem wir zuerst für beliebiges die Lösung des dualen Problems $L^2$$L^2$(U-uh,φ)φ∈L2u-uhH 1 0 φ∈L2wφ∈H 1 0 ( ∇ w φ , ∇ v ) = ( φ , V

$$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$$ $(u-u_h,\phi)$$\phi\in L^2$$u-u_h$$H^1_0$$\phi\in L^2$$w_\phi\in H^1_0$‖Wφ‖ H 2 ≤C‖φ‖ L 2 $$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$$ Unter Verwendung der Standardregelmäßigkeit der Poisson-Gleichung wissen wir, dass $$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$$

Das Einfügen von in und die Verwendung der Galerkin-Orthogonalität für jede Finite-Elemente-Funktion (in Ihrem Fall stückweise linear) ergibt die Schätzung Da dies für alle , ist die Ungleichung immer noch wahr, wenn wir das Infimum über alle stückweise linearen . Wir erhalten daher (1) w h ( ϕ , u - u h$v=u-u_h\in H^1_0$$\eqref{eq1}$$w_h$wHwh ‖ u - u h ‖ L 2 = sup φ ∈ L 2 ∖ { 0 } ( u - u h , φ

$$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$$ $w_h$$w_h$ $$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$$ Dies ist das Aubin-Nitsche-Lemma .

Der nächste Schritt besteht nun darin, Standardfehlerschätzungen für die beste Finite-Elemente-Näherung von Lösungen für die Poisson-Gleichung zu verwenden. Da nur in , erhalten wir keine bessere Schätzung als Glücklicherweise können wir die Tatsache nutzen, dass eine höhere Regelmäßigkeit aufweist als die rechte Seite anstelle von . In diesem Fall haben wir Einfügen von und inH 1 $u$$H^1$wϕϕ∈L2H-1 inf w h ‖ w ϕ - w h ‖ H 1

$$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$$ $w_\phi$$\phi\in L^2$$H^{-1}$ (3)(4) $$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$$ $\eqref{eq3}$$\eqref{eq4}$$\eqref{eq2}$ liefert nun die gewünschte Schätzung.

(Beachten Sie, dass die Standardschätzungen erfordern, dass der Polynomgrad der Finite-Elemente-Näherung und der Sobolev-Exponent der wahren Lösung erfüllen , sodass dieses Argument für die stückweise konstante ( ) Näherung nicht funktioniert . Wir haben auch das - dh, wir haben eine konforme Näherung - was für stückweise Konstanten nicht gilt.)m m < k + 1 k = 0 u - u h ≤ H 1 $k$$m$$m<k+1$$k=0$$u-u_h\in H^1_0$

Da Sie nach einer Referenz gefragt haben: Eine Aussage (auch für negative Sobolev-Räume anstelle von ) finden Sie in Satz 5.8.3 (zusammen mit Satz 5.4.8) in$H^{-s}$$L^2$

Susanne C. Brenner und L. Ridgway Scott , MR 2373954 Die mathematische Theorie der Finite-Elemente-Methoden , Texte in der angewandten Mathematik ISBN: 978-0-387-75933-3.