Bezugnehmend auf Krylov-Teilräume und die Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme, die diese Räume ausnutzen.
Was kann schief gehen, wenn mit vorkonditionierten Krylov-Methoden von KSP ( dem linearen Lösungspaket von PETSc ) ein spärliches lineares System gelöst wird, wie es durch Diskretisierung und Linearisierung partieller Differentialgleichungen erhalten wird? Welche Schritte kann ich unternehmen, um...
Nach meinem Verständnis gibt es zwei Hauptkategorien iterativer Methoden zum Lösen linearer Gleichungssysteme: Stationäre Methoden (Jacobi, Gauß-Seidel, SOR, Multigrid) Krylov-Subraum-Methoden (Conjugate Gradient, GMRES usw.) Ich verstehe, dass die meisten stationären Methoden durch iteratives...
Ich habe Matrizen EINEINAGGGEINEINAn × nn×nn\times nnnnGGGn × mn×mn\times mmmm1 < m < 10001<m<10001 \lt m \lt 1000111000GTG = ichGTG=ichG^TG = IEINEINAA x = bEINx=bAx = bB i C G S t a b (l)BichCGSteinb(l)\mathrm{BiCGStab}(l)EIN- 1EIN-1A^{-1} Ich möchte ein System der Form lösen: (...
Nach meinem Kenntnisstand verwenden Multigrid-Löser iterative Glätter wie Jacobi, Gauss-Seidel und SOR, um den Fehler bei verschiedenen Frequenzen zu dämpfen. Könnte stattdessen eine Krylov-Subraummethode (wie Konjugatgradient, GMRES usw.) verwendet werden? Ich glaube nicht, dass sie als...
Ich frage mich, was mit Polynom-Vorkonditionierern passiert ist. Ich interessiere mich für sie, weil sie aus mathematischer Sicht vergleichsweise elegant erscheinen, aber soweit ich in Umfragen zu Krylov-Methoden gelesen habe, schneiden sie im Allgemeinen als Vorkonditionierer sehr schlecht ab....
Frage: Angenommen, Sie haben zwei verschiedene (faktorisierte) Vorbedingungen für eine symmetrische positive definite Matrix : und wobei die Umkehrungen der Faktoren sind einfach anzuwenden.A ≤ B T B A ≤ C T C , B , B T , C , C TEINAAA ≈ BTBA≈BTBA \approx B^TBA ≈ CTC,A≈CTC,A \approx C^TC,B ,...
Angenommen, ich habe ein lineares System , das mit einer geeigneten Krylov-Methode (wie CG oder GMRES) für alle b schnell konvergiert . Wenn B eine Matrix mit niedrigem Rang r ist , konvergiert dieselbe Krylov-Methode auf dem System ( A + B ) x = b auch schnell (idealerweise mit einer zusätzlichen...
Eine Poisson-Gleichung mit allen Neumann-Randbedingungen hat einen einzigen konstanten dimensionalen Nullraum. Beim Lösen mit einer Krylov-Methode kann der Nullraum entweder durch Subtrahieren des Mittelwerts der Lösung bei jeder Iteration oder durch Fixieren des Werts eines einzelnen...
In Methoden wie gmres oder bicgstab könnte es attraktiv sein, eine andere Krylov-Methode als Vorkonditionierer zu verwenden. Schließlich sind sie einfach matrixfrei und in einer parallelen Umgebung zu implementieren. Zum Beispiel kann man einige Iterationen (sagen wir ~ 5) von nicht aufbereiteten...
Multigrid (MG) kann verwendet werden, um ein lineares System zu lösen, indem eine anfängliche Schätzung x 0 erstellt und das Folgende für i = 0 , 1 ... bis zur Konvergenz wiederholt wird :A x = bEINx=bAx=bx0x0x_0i = 0 , 1 ..ich=0,1 ..i=0,1.. Berechnen Sie den Rest rich= b - A xichrich=b-EINxichr_i...
Mein System ist ein symmetrisches FE-Problem mit Lagrange-Multiplikatoren (z. B. inkompressibler Stokes-Fluss): ( ABBTC)(EINBTBC)\begin{pmatrix}A & B^T \\ B & C\end{pmatrix} Dabei ist der typische Fall (ich habe sogar darauf geachtet, dass die Gleichungen nummeriert sind, damit die...
In der Computerwissenschaft begegnen wir häufig großen linearen Systemen, die wir mit einigen (effizienten) Mitteln lösen müssen, z. B. entweder mit direkten oder iterativen Methoden. Wenn wir uns auf Letzteres konzentrieren, wie können wir feststellen, dass eine iterative Methode zur Lösung großer...
Ich löse für eine riesige, spärlich positive, definitive Matrix Verwendung der Methode des konjugierten Gradienten (CG). Es ist möglich, die Determinante von Verwendung der während der Lösung erzeugten Informationen zu berechnen .A A.A x =
Ich bin daran interessiert, die Lösung eines Lage-Systems von ODEs mit einer Krylov-Methode wie in [1] zu berechnen. Ein solches Verfahren beinhaltet Funktionen, die sich auf das Exponential beziehen (die sogenannten ). Es besteht im Wesentlichen darin, die Wirkung der Matrixfunktion zu berechnen,...
Stellen Sie sich die Situation vor, in der Sie ein lineares System mit einer vorkonditionierten Krylov-Methode lösen möchten. Um den Vorkonditionierer selbst anzuwenden, müssen Sie jedoch ein Hilfssystem lösen, das mit einer anderen vorkonditionierten Krylov-Methode durchgeführt wird. In einem...
In diesem vorherigen Thread wurde der folgende multiplikative Weg vorgeschlagen, um die symmetrischen Vorkonditionierer und P 2 für das symmetrische System A x = b zu kombinieren : P - 1- Kombination : = P - 1 1 + P - 1 2 ( I - A P - 1 1 ) = P - 1 1 + P - 1 2 - P -P.1P.1P_1P.2P.2P_2A x =...