In der Computerwissenschaft begegnen wir häufig großen linearen Systemen, die wir mit einigen (effizienten) Mitteln lösen müssen, z. B. entweder mit direkten oder iterativen Methoden. Wenn wir uns auf Letzteres konzentrieren, wie können wir feststellen, dass eine iterative Methode zur Lösung großer...
Betrachten Sie ein symmetrisches positives definitives tridiagonales lineares System wobei A ∈ R n × n und b ∈ R n sind . Wenn wir bei drei Indizes 0 ≤ i < j < k < n nur Gleichungszeilen annehmen, die streng zwischen i und k gelten, können wir Zwischenvariablen eliminieren, um eine...
Ich habe ein inhomogenes lineares System Ax=bAx=b Ax=b wobei AAA eine reelle n×nn×nn\times n Matrix mit n≤4n≤4n\leq 4 . AAA wird garantiert, dass der Nullraum von A eine Dimension von Null hat, sodass die Gleichung eine eindeutige Umkehrung von x=A−1bx=A−1bx=A^{-1} b . Da das Ergebnis auf der...
Gibt es einen abgeschnittenen SVD-Algorithmus, der die Singularwerte einzeln berechnet? Mein Problem: Ich möchte die ersten kkk Singularwerte (und Singularvektoren) einer großen dichten Matrix berechnen MMM, weiß aber nicht, was ein geeigneter Wert von kkk wäre. MMM ist groß, daher würde ich aus...
Wie berechnet MATLAB beispielsweise die SVD einer bestimmten Matrix? Ich gehe davon aus, dass die Antwort wahrscheinlich die Berechnung der Eigenvektoren und Eigenwerte von beinhaltet A*A'. Wenn das der Fall ist, würde ich auch gerne wissen, wie es diese
So wie ich es verstehe, löst die Multigrid-Methode ein lineares System, indem sie eine gröbere Version desselben Problems löst (dort durch Eliminieren von Niederfrequenzfehlern) und dann zurück zum feinen Gitter projiziert, um die Hochfrequenzfehler zu glätten. Bei großen Systemen kann ich sehen,...
Angenommen, ist eine symmetrische, positiv definierte Matrix. ist groß genug, dass es teuer ist, direkt zu lösen . A A x = bA∈Rn×nA∈Rn×nA\in\mathbb{R}^{n\times n}AAAAx=bAx=bAx=b Gibt es einen iterativen Algorithmus zum Finden des kleinsten Eigenwerts von , bei dem in jeder Iteration invertiert...
Angenommen, man möchte die numerische lineare Algebra eingehend studieren (und Zeitschriften zur numerischen linearen Algebra und Matrixtheorie folgen), was ein besserer Kurs / ein besseres Buch wäre, das man zuerst aufgreifen sollte: Mit Hoffman und Kunze mit Beweisen und Strenge (ich habe keine...
Gegeben eine beliebige Menge von (numerisch) quadratisch komplexer Matrices , ich bin an der Berechnung der reellen Matrix Liealgebra von erzeugten A , rufen sie L A . Das heißt, würde ich eine Grundlage für gleiche L A = s p a n R { B : B ∈ ∪ ∞ k = 1 C k } wobei C k definiert ist als...
Ich habe eine Liste symmetrischer Matrizen, die ich auf positive Halbbestimmtheit prüfen muss (dh ihre Eigenwerte sind nicht negativ).L.L{\cal L} Der obige Kommentar impliziert, dass man dies tun könnte, indem man die jeweiligen Eigenwerte berechnet und prüft, ob sie nicht negativ sind...
Angesichts des Systems in dem A ∈ R n × n ist , habe ich gelesen, dass bei Verwendung der Jacobi-Iteration als Löser die Methode nicht konvergiert, wenn b eine Nicht-Null-Komponente im Nullraum von A hat . Wie könnte man also formal sagen, dass die Jacobi-Methode nicht konvergent ist ,...
Gibt es eine schnellere Möglichkeit, Standardfehler für lineare Regressionsprobleme zu berechnen, als durch Invertieren von ? Hier gehe ich davon aus, dass wir eine Regression haben:X′XX′XX'X y=Xβ+ε,y=Xβ+ε,y=X\beta+\varepsilon, wobei eine n × k- Matrix und y ein n × 1- Vektor ist.XXXn×kn×kn\times...
In Nocedal & Wrights Buch über numerische Optimierung gibt es in Abschnitt 2.2 (Seite 27) eine Aussage: "Im Allgemeinen ist es einfacher, die Skaleninvarianz für Liniensuchalgorithmen als für Vertrauensbereichsalgorithmen beizubehalten." Im selben Abschnitt wird über neue Variablen gesprochen,...
Das komplexe innere Produkt hat zwei verschiedene Definitionen, die durch Konventionen festgelegt werden: oder . In BLAS habe ich die Routinen cdotu, zdotu und cdotc, zdotc gefunden. Die beiden ersteren Routinen berechnen tatsächlich (ein falsches inneres Produkt!) Und die letzten beiden Routinen...
Ich bekomme eine Matrix , die symmetrisch, invertierbar, positiv definitiv und dicht ist. Ich muss testen, ob wobei J die All-One-Matrix ist.Q det ( Q ) = det ( 12 I - Q - J )12×1212×1212 \times 12QQQdet(Q)=det(12I−Q−J)(1)det(Q)=det(12I−Q−J)(1)\det(Q) = \det(12I-Q-J) \; \; (1)JJJ Ich mache das...
Ich mache eine Lanczos-Diagonalisierung einer großen Matrix mit geringer Dichte (~ 2 Millionen Elemente). Fast alle Schritte im Lanzcos-Algorithmus werden parallel auf der GPU ausgeführt, mit Ausnahme der Diagonalisierung der Lanczos-Matrix, um die Konvergenz zu überprüfen. Dafür habe ich den...
Angenommen, die folgende Matrix ist mit ihrer Transponierten . Das Produkt ergibt ,[ 0,500 - 0,333 - 0,167 - 0,500 0,667 - 0,167 - 0,500 - 0,333 0,833 ] A T A T A = G [ 0,750 - 0,334 - 0,417 - 0,334 0,667 - 0,333 - 0,417 - 0,333 0,750 ]EINAA⎡⎣⎢0,500- 0,500- 0,500- 0,3330,667- 0,333- 0,167-...
Könnte jemand eine Methode für das folgende Problem der kleinsten Quadrate empfehlen: finde R∈R3×3R∈R3×3R \in \mathbb{R}^{3 \times 3} , das minimiert: ∑i=0N(Rxi−bi)2→min∑i=0N(Rxi−bi)2→min\sum\limits_{i=0}^N (Rx_i - b_i)^2 \rightarrow \min , wobei RRR eine einheitliche (Rotations-) Matrix ist. Ich...
Angenommen, A ist eine allgemeine Matrix mit geringer Dichte, und ich möchte die Eigenwerte berechnen. Ich weiß nicht, wie ich die Multiplizität für die Eigenwerte ermitteln soll. Soweit ich weiß, können wir für einen speziellen Fall, bei dem die Polynomwurzeln mit der Begleitmatrixmethode...
Ich habe eine dichte echte symmetrische quadratische Matrix. Die Abmessung beträgt ca. 1000x1000. Ich muss die erste Hauptkomponente berechnen und mich fragen, welcher Algorithmus dafür am besten geeignet ist. Es scheint, dass MATLAB die Arnoldi / Lanczos- Algorithmen (für eigs) verwendet. Aber...